【正确答案】(1)验证该幂级数的收敛区间是(一∞，+∞)，这是缺项幂级数．令t=x³，则
原级数= ①
由
便知级数①的收敛半径为R=∞，从而t∈(一∞，+∞)即x∈(一∞，+∞)时，原级数收敛．
在收敛区间(一∞，+∞)内可逐项求导任意次，下面只需逐项求导两次即可．

则
于是

(收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和)．
(2)求解初始条件为y(0)=1，y'(0)=0的微分方程
y''+y'+y=e^x. ②
对应齐次微分方程y''+y'+y=0的特征方程为λ²+λ+1=0，其特征根为λ_1，2=．
于是对应齐次微分方程的通解为

由于λ=1不是特征根，可设非齐次微分方程的特解为y^*=Ae^x．将y^x代入方程②得A=1／3，于是y^x=e^x／3，故非齐次微分方程②的通解为

又将初始条件y(0)=1，y'(0)=0代入上式得到

解之得C₁=2／3，C₂=0，故所求幂级数的和函数为