解答题
11.[2001年] 设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系：
β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为AX=0的一个基础解系．
β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为AX=0的一个基础解系．
【正确答案】 为证β1，β2，…，βs为AX=0的基础解系，需证β1，β2，…，βs为AX=0的解，且β1，β2，…，βs线性无关，s=n一秩(A)．其关键是要证明β1，β2，…，βs线性无关．
由α1，α2，…，αs为AX=0的基础解系知，s=n一秩(A)，因β1，β2，…，βs均为α1，α2，…，αs的线性组合，而α1，α2，…，αs又为AX=0的解，根据齐次方程解的性质知，βi(i=1，2，…，s)为AX=0的解．下面证β1，β2，…，βs线性无关，给出两种证法．
证一 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即
(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0．
由于α1，α2，…，αs线性无关，于是得
①
因方程组①的系数矩阵的行列式为
由α1，α2，…，αs为AX=0的基础解系知，s=n一秩(A)，因β1，β2，…，βs均为α1，α2，…，αs的线性组合，而α1，α2，…，αs又为AX=0的解，根据齐次方程解的性质知，βi(i=1，2，…，s)为AX=0的解．下面证β1，β2，…，βs线性无关，给出两种证法．
证一 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即
(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0．
由于α1，α2，…，αs线性无关，于是得
①因方程组①的系数矩阵的行列式为
【答案解析】