解答题
设A是一个n阶方阵，满足A2=A，r(A)=r，且A有两个不同的特征值．
(Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵
(Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵
【正确答案】
【答案解析】证：(Ⅰ)设λ是A的特征值，由于A2=A，所以λ2=λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1．
又因为A2=A，即A(A-E)=O，故r(A)+r(A-E)=n．事实上，因为A(A-E)=O，所以r(A)+r(A-E)≤n．
另外，由于E-A同A-E的秩相同，则有
n=r(E)=r[(E-A)+A]≤r(A)+r(E-A)=r(A)+r(AE)，
从而r(A)+r(A-E)=n．
当λ=1时，因为r(A-E)=n-r(A)=n-r，从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有r个解向量，因此，A属于特征值1有r个线性无关特征向量，记为η1，η2，…，ηr．
当λ=0时，因为r(A)=r，从而齐次线性方程组(0·E-A)x=0的基础解系含n-r个解向量．因此，A属于特征值0有n-r个线性无关的特征向量，记为ηr+1，ηr+2，…，ηn．
于是η1，η2，…，ηn是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为A=
．
解：(Ⅱ)令P=(η1，η2，η3，…，ηn)，则A=P
P-1，所以
又因为A2=A，即A(A-E)=O，故r(A)+r(A-E)=n．事实上，因为A(A-E)=O，所以r(A)+r(A-E)≤n．
另外，由于E-A同A-E的秩相同，则有
n=r(E)=r[(E-A)+A]≤r(A)+r(E-A)=r(A)+r(AE)，
从而r(A)+r(A-E)=n．
当λ=1时，因为r(A-E)=n-r(A)=n-r，从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有r个解向量，因此，A属于特征值1有r个线性无关特征向量，记为η1，η2，…，ηr．
当λ=0时，因为r(A)=r，从而齐次线性方程组(0·E-A)x=0的基础解系含n-r个解向量．因此，A属于特征值0有n-r个线性无关的特征向量，记为ηr+1，ηr+2，…，ηn．
于是η1，η2，…，ηn是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为A=
．解：(Ⅱ)令P=(η1，η2，η3，…，ηn)，则A=P
P-1，所以