问答题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
，n=2，3，…．
问答题
证明：方程f
n
(x)=1在[0，+∞)有唯一实根x
n
；
【正确答案】
【答案解析】【证】f
n
(x)连续，且f
n
(0)=0，f
n
(1)=n＞1，由介值定理，
使f
n
(x
n
)=1，n=2，3，…，又x＞0时，
使f
n
(x
n
)=1，n=2，3，…，又x＞0时，
问答题
求
【正确答案】
【答案解析】【解】由上小题可得，x
n
∈(0，1)，n=2，3，…，所以{x
n
}有界．
又因为f n (x n )=1=f n+1 (x n+1 )，n=2，3，…，所以
，
即
因此x
n
＞x
n+1
，n=2，3，…，即{x
n
}严格单调减少．于是由单调有界准则知
存在，记
由
得
=1．因为0＜x
n
＜x
2
＜1，所以
于是
解得
即
又因为f n (x n )=1=f n+1 (x n+1 )，n=2，3，…，所以
，
即
因此x
n
＞x
n+1
，n=2，3，…，即{x
n
}严格单调减少．于是由单调有界准则知
存在，记
由
得
=1．因为0＜x
n
＜x
2
＜1，所以
于是
解得
即