问答题
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
c∈(0，1)，有 ｜f'(c)｜≤2a+
c∈(0，1)，有 ｜f'(c)｜≤2a+
【正确答案】正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：
c∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+f'(c)(x—c)+
f"(ξ)(x一c)
2
， (*) 其中ξ=c+θ(x一c)，0＜θ＜1． 在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f'(c)(一c)+
f"(ξ
1
)c
2
，0＜ξ
1
＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f'(c)(1一c)+
f"(ξ
2
)(1一c)
2
，0＜c＜ξ
2
＜1． 上面两式相减得 f(1)一f(0)=f'(c)+
[f"(ξ
2
)(1一c)
2
一f"(ξ
1
)c
2
]． 从而f'(c)=f(1)—f(0)+
[f"(ξ
1
)c
2
一f"(ξ
2
)(1一c)
2
]，两端取绝对值并放大即得 ｜f'(c)｜≤2a+
b[(1一c)
2
+c
2
]≤2a+
b(1一c+c)=2a+
c∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+f'(c)(x—c)+
f"(ξ)(x一c)
2
， (*) 其中ξ=c+θ(x一c)，0＜θ＜1． 在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f'(c)(一c)+
f"(ξ
1
)c
2
，0＜ξ
1
＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f'(c)(1一c)+
f"(ξ
2
)(1一c)
2
，0＜c＜ξ
2
＜1． 上面两式相减得 f(1)一f(0)=f'(c)+
[f"(ξ
2
)(1一c)
2
一f"(ξ
1
)c
2
]． 从而f'(c)=f(1)—f(0)+
[f"(ξ
1
)c
2
一f"(ξ
2
)(1一c)
2
]，两端取绝对值并放大即得 ｜f'(c)｜≤2a+
b[(1一c)
2
+c
2
]≤2a+
b(1一c+c)=2a+
【答案解析】解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f'(c)｜≤2a+