问答题
设二次型
满足
=2，AB=O，其中
满足
=2，AB=O，其中
问答题
用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换
【正确答案】由AB=O即知B中三个列向量均为A的属于零特征值的特征向量．
事实上，设B=[α1，α2，α3]，则Aαi=0(i=1，2，3)．显然α1，α2线性无关，且α3-α1+α2，故λ1=0至少是二重特征值．又因
故λ1=λ2=0，λ3=2．设对应于λ3=2的特征向量为
β3=[x1，x2，x3]T，则α1与β3，α2与β3正交，于是有
由
知，该方程组的基础解系为
[-1/2，-1/2，1]T
为方便计，取β3=[1，1，-2]T．
注意到α1，α2，α3两两正交，只需单位化
，
则Q=[η1，η2，η3]为正交矩阵，作正交变换X=QY，则
f=XTAX=(QY)TA(QT)=YT(QTAQ)y
=
事实上，设B=[α1，α2，α3]，则Aαi=0(i=1，2，3)．显然α1，α2线性无关，且α3-α1+α2，故λ1=0至少是二重特征值．又因
故λ1=λ2=0，λ3=2．设对应于λ3=2的特征向量为
β3=[x1，x2，x3]T，则α1与β3，α2与β3正交，于是有
由
知，该方程组的基础解系为[-1/2，-1/2，1]T
为方便计，取β3=[1，1，-2]T．
注意到α1，α2，α3两两正交，只需单位化
，则Q=[η1，η2，η3]为正交矩阵，作正交变换X=QY，则
f=XTAX=(QY)TA(QT)=YT(QTAQ)y
=
【答案解析】
【正确答案】由QTAQ=Q-1AQ=
，得到
，得到【答案解析】[解析] 为解决问题(1)与(2)需先求出A的特征值、特征向量．因A为抽象矩阵，故只能由定义及其性质求之．