【正确答案】(1) 由题设，引入辅助函数ψ2(x)=x-f(x)，则ψ(x)在[0，1]上连续，由已知条件．f(1)=0及[*]，知
ψ(1)=1-f(1)=1＞0
且[*]
所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点[*]，使得ψ(η)=0，即η=f(η)=0，因此存在[*]，使f(η)=η．证毕．
(2) 需要引入辅助函数，但比(1)中需要更多技巧，由原函数法，将所需证明的等式中的ξ改写为x，有
f'(x)-λ[f(x)-x]=1，
即f'(x)-λf(x)=1-λx．
由一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得
[*]
所以[f(x)-x]e^-λx=C，至此，可令辅助函数为g(x)=[f(x)-x]e^-λx=-ψ(x)e^-λx
由已知条件及(1)中结论，知g(x)也是连续函数，且
g(0)=[f(x)-0]e₀=0，g(η)=-ψ(η)e^-λη=0．
由罗尔定理知存在一点ξ∈(0，η)，使得g'(ξ)=0．又
g'(x)=-λe^-λx[f(x)-x]+e^-λx[f'(x)-1]
所以-λ[f(ξ)-ξ]+f'(ξ)-1=0
此即f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．
证毕．

【答案解析】[解析] 介值定理、罗尔定理．