解答题
8.设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy''一y'+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0所围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．
【正确答案】解微分方程xy''一y'+2=0，得其通解y=C1+2x+C2x2，其中C1，C2为任意常数．又已知y=y(x)通过原点时与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，可得C1=0．
因此C2=3．故所求非负函数为y=2x+3x2(x≥0)．又由y=2x+3x2可得，在第一象限曲线y=y(x)表示为
直线x=1与曲线y(x)交点为(1，5)，过该点作x轴与y轴的垂线，构成的矩形绕y轴旋转所得圆柱体的体积为5π，于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=5π—V1，其中
因此C2=3．故所求非负函数为y=2x+3x2(x≥0)．又由y=2x+3x2可得，在第一象限曲线y=y(x)表示为
直线x=1与曲线y(x)交点为(1，5)，过该点作x轴与y轴的垂线，构成的矩形绕y轴旋转所得圆柱体的体积为5π，于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=5π—V1，其中
【答案解析】