问答题
In the research and development model without capital,
where Y, K, L, A denote respectively output, capital, labor, and knowledge; the fraction aL of the labor force used in the research and development sector and the saving rate S are exogenous and constant.
Y(t)=A(t)(1-aL)L(t),
[*]=B[aLL(t)]γA(t)θ, B＞0, γ≥0,
[*]=sY(t);
[*]=nL(t), n＞0;
where Y, K, L, A denote respectively output, capital, labor, and knowledge; the fraction aL of the labor force used in the research and development sector and the saving rate S are exogenous and constant.
问答题
Prove that
=γng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
, where g
A
=
=γng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
, where g
A
=
【正确答案】
【答案解析】证明：因为
=B[a
L
L(t)]
γ
A(t)
θ
，B＞0，γ≥0，
所以：
=B[aLL(t)]γA(t)θ-1
即：
=B[a
L
L(t)]
γ
A(t)
θ
，B＞0，γ≥0，
所以：
=B[aLL(t)]γA(t)θ-1即：
问答题
Describe the behavior of output per worker.
【正确答案】
【答案解析】由(1)问可得，人均产出为：y(t)=A(t)(1-a
L
)。因此，
。
由(1)问可得，人均产出的增长率与知识的增长率相同，因此只要考虑知识的增长率来考虑人均产出的增长率。
当
=yng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
=0时，
。
因为
=γng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
，所以可以得出知识增长率的相图。
①当0＜1时，若g A ＞
，则g
A
下降；若
，则g
A
上升。因此，不管初始条件如何，g
A
都收敛于
。其相图如图1所示。一旦g
A
达到
，A和y均以速率
稳定增长，经济处于平衡增长路径上。
图1 θ＜1时的知识增长率的动态学
图2 θ＞1时的知识增长率的动态学
②当0＞1时，
=γng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
随着g
A
递增，且由于g
A
必为正数，所以
必为正，图形如图2所示。
经济增长率不断增加，而非收敛于一条平衡增长路径。
③如果θ=1，则g A 和
的表达式简化为：g
A
(t)=
，
。其相图如图3所示。
。
由(1)问可得，人均产出的增长率与知识的增长率相同，因此只要考虑知识的增长率来考虑人均产出的增长率。
当
=yng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
=0时，
。
因为
=γng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
，所以可以得出知识增长率的相图。
①当0＜1时，若g A ＞
，则g
A
下降；若
，则g
A
上升。因此，不管初始条件如何，g
A
都收敛于
。其相图如图1所示。一旦g
A
达到
，A和y均以速率
稳定增长，经济处于平衡增长路径上。
图1 θ＜1时的知识增长率的动态学
图2 θ＞1时的知识增长率的动态学
②当0＞1时，
=γng
A
(t)+(θ-1)[g
A
(t)]
2
随着g
A
递增，且由于g
A
必为正数，所以
必为正，图形如图2所示。
经济增长率不断增加，而非收敛于一条平衡增长路径。
③如果θ=1，则g A 和
的表达式简化为：g
A
(t)=
，
。其相图如图3所示。