解答题
23.[2016年] 已知f(x)在[0，
]上连续，在(0，
)内是函数
的一个原函数，f(0)=0．证明：f(x)在区间(0，
]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，f(0)=0．证明：f(x)在区间(0，
【正确答案】 先证f(x)在(0，
)内无零点，再证在
内有唯一零点，为此证f(x)在该区间内单调，且
＜0．
证 (II)：因f＇(x)=
，当x∈(0，
)时，2x一3π＜0，故f＇(x)＜0．所以当x∈(0，
)时，f(x)单调减少，而f(0)=0，故当x∈(0，
)时，f(x)＜f(0)=0，
即f(x)在(0，
)内无零点．
因x∈(0，
)时，f(x)单调减少，故f(
)＜f(0)=0．
知，f(x)在区间
上的平均值为
又x∈
时，f＇(x)=
而cosx＜0，2x一3π＜0，故f＇(x)＞0，
即x∈
时，f(x)单调增加，设f(x)在
内的平均值为
，则
内f(x)＜0)＞0．
因f(x)在
单调增加，且f
＜0，由命题1．1．7．5知，在该区间内f(x)有唯一零点，而f(x)在(0，
)内无零点，因而f(x)在(0，
)内无零点，再证在内有唯一零点，为此证f(x)在该区间内单调，且＜0．证 (II)：因f＇(x)=
，当x∈(0，)时，2x一3π＜0，故f＇(x)＜0．所以当x∈(0，)时，f(x)单调减少，而f(0)=0，故当x∈(0，)时，f(x)＜f(0)=0，即f(x)在(0，
)内无零点．因x∈(0，
)时，f(x)单调减少，故f()＜f(0)=0．知，f(x)在区间
上的平均值为又x∈
时，f＇(x)=而cosx＜0，2x一3π＜0，故f＇(x)＞0，即x∈
时，f(x)单调增加，设f(x)在内的平均值为，则内f(x)＜0)＞0．因f(x)在
单调增加，且f＜0，由命题1．1．7．5知，在该区间内f(x)有唯一零点，而f(x)在(0，)内无零点，因而f(x)在(0，【答案解析】