【正确答案】 1、{{*HTML*}} 视(A^*)²+E=f(A^*)，只要求出A^*的特征值即可利用命题2．5．1．11(3)求得(A^*)²+E的特征值．由命题2．5．1．11(6)即可求得A^*的特征值．另外也可用定义求之． 解一 由命题2．5．1．1 1(6)知，A^*有一特征值μ=∣A∣／λ．再由同一命题(3)知，(A^*)²+E=f(A^*)必有一特征值，即f(μ)=μ+1=(∣A∣／λ)²+1=(λ²+∣A∣²)／λ²． 解二 因λ为A的特征值，则存在对应于λ的A的特征向量α，使Aα=λα．两端左乘A^*，利用A^*A=∣A∣E，得到∣A∣α=λA^*α．因A可逆，故λ≠0．于是 A^*α=(∣A∣／λ)α．两边左乘A^*，得到 (A^*)²α=(∣A∣／λ)A^*α=(∣A∣／λ)²α．两边同加α，得到(A^*)²+E]α=(∣A∣／λ)²α+α=[(∣A∣／λ)²+1]α．由定义即知，(∣A∣／λ) ²+l为(A^*) ²+E的一个特征值．