问答题
设n阶矩阵
问答题
求A的特征值和特征向量；
【正确答案】
【答案解析】1°当b≠0时，
，
故A的特征值为λ 1 =1+(n-1)b，λ 2 = … =λ n =1-b．
对于λ 1 =1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为ξ 1 ，则
解得ξ 1 =(1．1，…，1) T ．所以，属于λ 1 的全部特征向量为
kξ 1 =k(1，1，…，1) T ，其中k为任意非零常数．
对于λ 2 = … =λ n =1-b，解齐次线性方程组[(1-b)E-A]x=0．由
，
故A的特征值为λ 1 =1+(n-1)b，λ 2 = … =λ n =1-b．
对于λ 1 =1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为ξ 1 ，则
解得ξ 1 =(1．1，…，1) T ．所以，属于λ 1 的全部特征向量为
kξ 1 =k(1，1，…，1) T ，其中k为任意非零常数．
对于λ 2 = … =λ n =1-b，解齐次线性方程组[(1-b)E-A]x=0．由
问答题
求可逆矩阵P，使P
-1
AP为对角矩阵．
【正确答案】
【答案解析】1°当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
… ξ
3
]，则有
P -1 AP=diag(1+(n-1)b，1-b，…，1-b)．
2°当b=0时，A=E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P -1 AP=E．
P -1 AP=diag(1+(n-1)b，1-b，…，1-b)．
2°当b=0时，A=E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P -1 AP=E．