解答题
7.(2010年)设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)．
(Ⅰ)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f''(ξ)=0．
(Ⅰ)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f''(ξ)=0．
【正确答案】(Ⅰ)设F(x)=∫0xf(t)dt(0≤x≤2)
则
∫02f(x)dx=F(2)一F(0)．
根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，2)，使
F(2)一F(0)=2F'(η)=2f(η)，
即 ∫02f(x)dx=2f(η)．
由题设知∫02f(x)dx=2f(0)，故f(η)=f(0)．
(Ⅱ)
介于f(x)在[2，3]上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在ζ∈[2，3]，使
由题设知
，故f(ζ)=f(0)．
由于f(0)=f(η)=f(ζ)，且0＜η＜ζ≤3，根据罗尔定理，存在ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，ζ)，使f'(ξ1)=0，
f'(ξ2)=0，从而存在ξ∈(ξ1，ξ2)
则
∫02f(x)dx=F(2)一F(0)．
根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，2)，使
F(2)一F(0)=2F'(η)=2f(η)，
即 ∫02f(x)dx=2f(η)．
由题设知∫02f(x)dx=2f(0)，故f(η)=f(0)．
(Ⅱ)
介于f(x)在[2，3]上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在ζ∈[2，3]，使由题设知
，故f(ζ)=f(0)．由于f(0)=f(η)=f(ζ)，且0＜η＜ζ≤3，根据罗尔定理，存在ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，ζ)，使f'(ξ1)=0，
f'(ξ2)=0，从而存在ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】