问答题
设f(x)在(a，b)二阶可导，
x
1
，x
2
∈(a，b)，x
1
≠x
2
，
t∈(0，1)，则
(Ⅰ)若f"(x)＞0(
∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]＜t f(x
1
)+(1一t)f(x
2
)， (4．6)
特别有
[f(x
1
)+f(x
2
)]；
(Ⅱ)若f"(x)＜0(
x∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]＞tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
)， (4．7)
特别有
x
1
，x
2
∈(a，b)，x
1
≠x
2
，
t∈(0，1)，则
(Ⅰ)若f"(x)＞0(
∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]＜t f(x
1
)+(1一t)f(x
2
)， (4．6)
特别有
[f(x
1
)+f(x
2
)]；
(Ⅱ)若f"(x)＜0(
x∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]＞tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
)， (4．7)
特别有
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f"(x)＞0(x∈(a，b)) → f(x)在(a，b)为凹的 → (4．5)相应的式子成立．注意tx
1
+(1一t)x
2
∈(a，b) → f(x
1
)＞[tx
1
+(1一t)x
2
]+f'[tx
1
+(1一t)x
2
][x
1
一(tx
1
+(1一t)x
2
)] =f[tx
1
+(1一t)x
2
]+f'[tx
1
+(1一t)x
2
](1一t)(x
1
一x
2
)， f(x
2
)＞f[tx
1
+(1一t)x
2
]+f'[tx
1
+(1一t)x
2
][x
2
一(tx
1
+(1一t)x
2
)] =f[tx
1
+(1一t)x
2
]一f'[tx
1
+(1一t)x
2
]t(x
1
一x
2
)， 两式分别乘t与(1一t)后相加得 tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
)＞f[tx
1
+(1一t)x
2
]．
【答案解析】