问答题 设非零n维列向量α，β正交且A=αβ T ．证明：A不可以相似对角化．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令λ为矩阵A的特征值，X为λ所对应的特征向量，则AX=λX，显然A 2 X=λ 2 X，因为α，β正交，所以A 2 =αβ T ·αβ T =O，于是λ 2 X=0，而X≠0，故矩阵A的特征值为λ 1 =λ 2 =…=λ n =0．
又由α，β都是非零向量得A≠O，
因为r(0E-A)=rA≥1，所以n-r(0E-A)≤n-1＜n，所以A不可相似对角化．