解答题
4.
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A
k
χ＝0有解向量α，且A
k-1
α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A
k-1
α是线性无关的．
【正确答案】
设有常数λ
0
，λ
1
，λ
k-1
，使得
λ
0
α
1
＋λ
1
Aα＋…＋λ
k-1
A
k-1
α＝0，
则有A
k-1
(λ
0
α＋λ
1
Aα＋…＋λ
k-1
A
k-1
α)＝0，
从而得到λ
0
A
k-1
α＝0．由题设A
k-1
α≠0，所以λ
0
＝0．
类似地可以证明λ
1
＝λ
2
＝…＝λ
k-1
＝0，因此向量组α，Aα，…，A
k-1
α是线性无关的．
【答案解析】
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