单选题
二元函数
【正确答案】
A
【答案解析】[分析] 因
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故f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在．
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即在原点处全增量
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于是有
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故全微分[*]存在，即函数f(x，y)在点(0，0)处可微，从而f(x，y)在点(0，0)处连续．
注：函数f(x，y)在一点(x0，y0)处连续是函数f(x，y)在该点可微的必要条件；函数在一点有连续的偏导数是函数在这一点可微的充分条件．
在本题中，f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0，而在(x，y)≠(0，0)，有
[*]
但当点(x，y)沿x轴(即y=0)趋于点(0，0)时,[*][*]极限不存在，故f'x(x，y)在点(0，0)处不连续．同理可知，f'y(x，y)在点(0，0)处也不连续．本例恰恰说明，函数在一点可微，只要求在该点两个偏导数存在，并非要求两个偏导数在该点连续．可以证明，如果f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，那么f(x，y)一定可微．
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故f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在．
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即在原点处全增量
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于是有
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故全微分[*]存在，即函数f(x，y)在点(0，0)处可微，从而f(x，y)在点(0，0)处连续．
注：函数f(x，y)在一点(x0，y0)处连续是函数f(x，y)在该点可微的必要条件；函数在一点有连续的偏导数是函数在这一点可微的充分条件．
在本题中，f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0，而在(x，y)≠(0，0)，有
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但当点(x，y)沿x轴(即y=0)趋于点(0，0)时,[*][*]极限不存在，故f'x(x，y)在点(0，0)处不连续．同理可知，f'y(x，y)在点(0，0)处也不连续．本例恰恰说明，函数在一点可微，只要求在该点两个偏导数存在，并非要求两个偏导数在该点连续．可以证明，如果f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，那么f(x，y)一定可微．