【正确答案】 C

【答案解析】本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续性问题．f(x)的定义域是(-∞，+∞)，它被分成两个子区间(-∞，0]和(0，+∞)．在(-∞，0]内f(x)=x²，因而它在(-∞，0]上连续，在(-∞，0)内导函数连续，且f'_-(0)=0；在(0，+∞)内[*]，因而它在(0，+∞)内连续且导函数连续．
注意[*]，因而f(x)在(-∞，+∞)连续．可见(A)不正确．又因
[*]
即f(x)在x=0右导数f'₊(0)存在且等于零，这表明f'(0)存在且等于零．于是，f'(x)在(-∞，+∞)上处处存在．可见(B)不正确．
注意，当x＞0时，[*]
于是[*]不存在，这表明f'(x)在x=0处间断．可见(C)正确，(D)不正确．故选(C)．
在讨论有关分段函数的连续性和可导性时，常可利用初等函数的性质来得出函数在各分段子区间内的连续性和可导性，但在各分界点处，则常常需按照连续与可导的定义来进行讨论．