单选题
设x∈(0，1)，证明：
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)
【正确答案】[证明] (1)令φ(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，则
φ'(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)
又
＜x x∈(0，1)
则φ"(x)＞0 x∈(0，1)
φ'(x)＞φ'(0)=0 x∈(0，1)
φ(x)＞φ(0)=0 x∈(0，1)
故(1+x)ln2(1+x)＜x2
(2)令
由(1)知f'(x)＜0， x∈(0，1)
则f(x)在(0，1)上单调减，
f(1)＜f(x)＜f(0+) x∈(0，1)
φ'(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)
又
＜x x∈(0，1)
则φ"(x)＞0 x∈(0，1)
φ'(x)＞φ'(0)=0 x∈(0，1)
φ(x)＞φ(0)=0 x∈(0，1)
故(1+x)ln2(1+x)＜x2
(2)令
由(1)知f'(x)＜0， x∈(0，1)
则f(x)在(0，1)上单调减，
f(1)＜f(x)＜f(0+) x∈(0，1)
【答案解析】