单选题 设函数f(x)连续，且f'(0)＞0，则存在δ＞0，使得______
  • A.f(x)在(0，δ)内单调增加．
  • B.f(x)在(-δ，0)内单调减少．
  • C.对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)．
  • D.对任意的x∈(-δ，0)有f(z)＞f(0)．
【正确答案】 C
【答案解析】解 由于[*]，由极限的保号性知，存在δ＞0，当x∈(-δ，0)或x∈(0，δ)时，[*]，而当∈(0，δ)时x＞0，则此时f(x)-f(0)＞0，即f(x)＞f(0)，故应选C．
本题主要考查当函数在一点处导数大于零时，函数在该点邻近的性态。关于此问题有以下常用的结论：“若f'(x0)＞0，则存在δ＞0，使得当x∈(x0-δ，x0)时，有f(x)＜f(x0)；当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)＞f(x0)．”(若f'(x0)＜0，有类似的结论)本结论可利用本题题解中的方法证明，即利用导数定义和函数极限的保号性证明．本题很容易选A，这个选择是错误的，事实上设有以下这个结论：“若，f'(x0)＞0，则存在δ＞0，在(x0-δ，x0+δ)内，f(x)单调增”，反例如下
[*]
可以证明f'(0)=1＞0，但f(x)在x=0的任何邻域内都不单调增．事实上可以证明，在x=0的任何邻域内既存在使f'(x)＞0的点，也存在使f'(x)＜0的点．