解答题
15.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)<0．
【正确答案】因为
＝f’＋(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜x－a＜δ时，有
＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)＝0．
由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ1)＝
＞0，f’(ξ2)＝
＜0．
再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得 f”(ξ)＝
＝f’＋(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜x－a＜δ时，有＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)＝0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ1)＝
＞0，f’(ξ2)＝＜0．再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得 f”(ξ)＝【答案解析】