解答题
15.
已知α
1
，α
2
都是3阶矩阵A的特征向量．特征值分别为－1和1，又3维向量α
3
满足Aα
3
＝α
2
＋α
3
．证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【正确答案】
根据特征向量的性质，α
1
，α
2
都是A的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的．
用反证法．如果α
3
可用α
1
，α
2
表示，设α
3
＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
，用A左乘等式两边之，得
α
2
＋α
3
＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
，
减去原式得
α
2
＝－2c
1
α
1
，
与α
1
，α
2
线性无关矛盾，说明α
3
不可用α
1
，α
2
线性表示．
【答案解析】
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