解答题
24.设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：
{Xi}与
{Xi}与
【正确答案】因为总体X在区间(0，Θ)内服从均匀分布，所以分布函数为
F(x)＝
令U＝
{Xi)，V＝
{Xi)，则
FU＝P(U≤u)＝P(max{X1，X2，X3}≤u)＝P(X1≤u，X2≤u，X3≤u)
＝P(X1≤u)P(X2≤u)P(X3≤u)＝
FV(v)＝P(V≤v)＝P(min{X1，X2，X3}≤v)＝1－P(min{X1，X2，X3}＞v)
＝1－P(X1＞v，X2＞v，X3＞v)＝1－P(X1＞v)P(X2＞v)P(X3＞v)
＝1－[1－P(X1≤v)][1－P(X2≤v)][1－P(X3≤v)]
＝
则U，V的密度函数分别为fU(x)＝
fV(x)＝
因为E(
U)＝
E(U)＝
x×
dx＝θ，
E(4V)＝4E(V)×4
x×
(1－
)2dx＝θ，
所以
{Xi}与
{Xi)都是参数θ的无偏估计量．
D(U)＝E(U)2－[E(U)]2＝
x2×
dx－(
θ)2＝
，
D(V)＝E(V)2－[E(V)]2＝
x2×
(1－
)2dx－(
θ)2＝
，
D(
)＝D(
U)＝
，D(
)＝D(4V)＝16×
，
因为D(
)＜D(
)，所以
F(x)＝
令U＝
{Xi)，V＝{Xi)，则FU＝P(U≤u)＝P(max{X1，X2，X3}≤u)＝P(X1≤u，X2≤u，X3≤u)
＝P(X1≤u)P(X2≤u)P(X3≤u)＝
FV(v)＝P(V≤v)＝P(min{X1，X2，X3}≤v)＝1－P(min{X1，X2，X3}＞v)
＝1－P(X1＞v，X2＞v，X3＞v)＝1－P(X1＞v)P(X2＞v)P(X3＞v)
＝1－[1－P(X1≤v)][1－P(X2≤v)][1－P(X3≤v)]
＝
则U，V的密度函数分别为fU(x)＝
fV(x)＝因为E(
U)＝E(U)＝x×dx＝θ，E(4V)＝4E(V)×4
x×(1－)2dx＝θ，所以
{Xi}与{Xi)都是参数θ的无偏估计量．D(U)＝E(U)2－[E(U)]2＝
x2×dx－(θ)2＝，D(V)＝E(V)2－[E(V)]2＝
x2×(1－)2dx－(θ)2＝，D(
)＝D(U)＝，D()＝D(4V)＝16×，因为D(
)＜D()，所以【答案解析】