问答题
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度
【正确答案】正确答案：设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)一xy'(x))，又 ｜
｜
2
=x
2
+[y(x)一(y(x)一xy'(x))]
2
=x
2
+x
2
y'
2
， ｜
｜
2
=(y
2
—xy')
2
， 按题意得 x
2
+x
2
y'
2
=(y一xy')
2
，即 2xyy'一y
2
=一x
2
． 又初始条件
． 这是伯努利方程(也是齐次方程)2yy'一
y
2
=一x． 对z=y
2
而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子μ=
，得
y
2
=一x+C．y
2
=一x
2
+Cx． 由初始条件
，得C=3．因此L的方程为y
2
+x
2
=3x．
｜
2
=x
2
+[y(x)一(y(x)一xy'(x))]
2
=x
2
+x
2
y'
2
， ｜
｜
2
=(y
2
—xy')
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， 按题意得 x
2
+x
2
y'
2
=(y一xy')
2
，即 2xyy'一y
2
=一x
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． 又初始条件
． 这是伯努利方程(也是齐次方程)2yy'一
y
2
=一x． 对z=y
2
而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子μ=
，得
y
2
=一x+C．y
2
=一x
2
+Cx． 由初始条件
，得C=3．因此L的方程为y
2
+x
2
=3x．
【答案解析】