解答题
22.设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．
求：(1)二次型XTAX的标准形； (2)|E+A+A2+…+An|的值．
【正确答案】(1)因为A2=A，所以|A||E—A|=0，即A的特征值为0或者1，
因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0
(n一r重)，则二次型XTAX的标准形为y12+y22+…+yr2．
(2)令B=E+A+A2+…+An，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n一r重)，故
|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r．
【答案解析】