解答题
设A3×3=(α1，α2，α3)，方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，-3)T+(2，-1，1)T，其中k为任意常数．证明：
(Ⅰ)方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；
(Ⅱ)方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，并求其通解．
(Ⅰ)方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；
(Ⅱ)方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，并求其通解．
【正确答案】
【答案解析】[证] 由题设条件(α1，α2，α3)x=β有通解k(1，2，-3)T+(2，-1，1)T，知
r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2， (*)
α1+2α2-3α3=0， (**)
β=(k+2)α1+(2k-1)α2+(-3k+1)α3． (***)
(Ⅰ)由(**)式得
知α1，α2线性无关(若α1，α2线性相关，又
得r(α1，α2，α3)=1，这和(*)式矛盾)由(*)式知α1，α2是向量组α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的极大线性无关组，从而有r(α1，α2)=r(α1，α2，β)=2，方程组(α1，α2)x=β有唯一解．由(***)式取α3的系数-3k+1=0，即取
即(α1，α2)x=β的唯一解为
(Ⅱ)因r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=r(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)=r(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3，β)=2，故方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，且其通解形式为k1ξ1+k2ξ2+η*，其中ξ1，ξ2为对应的齐次方程组的基础解系，n*为方程组的特解，k1，k2为任意常数．
由(**)式
得
在(***)式中取k=0，有
则得
观察得
r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2， (*)
α1+2α2-3α3=0， (**)
β=(k+2)α1+(2k-1)α2+(-3k+1)α3． (***)
(Ⅰ)由(**)式得
知α1，α2线性无关(若α1，α2线性相关，又得r(α1，α2，α3)=1，这和(*)式矛盾)由(*)式知α1，α2是向量组α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的极大线性无关组，从而有r(α1，α2)=r(α1，α2，β)=2，方程组(α1，α2)x=β有唯一解．由(***)式取α3的系数-3k+1=0，即取即(α1，α2)x=β的唯一解为(Ⅱ)因r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=r(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)=r(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3，β)=2，故方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，且其通解形式为k1ξ1+k2ξ2+η*，其中ξ1，ξ2为对应的齐次方程组的基础解系，n*为方程组的特解，k1，k2为任意常数．
由(**)式
得
在(***)式中取k=0，有
则得
观察得