问答题
已知A，B均是2×4矩阵，且AX=0有基础解系α
1
=[1，1，2，1]
T
，α
2
=[0，一3，1，0]
T
；
BX=0有基础解系β
1
=[1，3，0，2]
T
，β
2
=[1，2，一1，a]
T
．
(1)求矩阵A；
(2)若AX=0和BX=0有非零公共解，求参数a的值及公共解．
【正确答案】正确答案：(1)记C=[α
1
，α
2
]，则有AC=A[α
1
，α
2
]=O，得C
T
A
T
=O，即A
T
的列向量(即A的行向量)是C
T
X=0的解向量．
解得C
T
X=0的基础解系为ξ
1
=[1，0，0，一1]
T
，ξ
2
=[-7，1，3，0]
T
． 故
(2)若AX=0和BX=0有非零公共解，则非零公共解既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出，设公共解为 η=x
1
α
1
+x
2
α
2
=x
3
β
1
+x
4
β
2
．于是 x
1
α
1
+x
2
α
2
-x
3
β
1
一x
4
β
4
=0． (*) 对[α
1
，α
2
，一β
1
，一β
2
]作初等行变换，有
解得C
T
X=0的基础解系为ξ
1
=[1，0，0，一1]
T
，ξ
2
=[-7，1，3，0]
T
． 故
(2)若AX=0和BX=0有非零公共解，则非零公共解既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出，设公共解为 η=x
1
α
1
+x
2
α
2
=x
3
β
1
+x
4
β
2
．于是 x
1
α
1
+x
2
α
2
-x
3
β
1
一x
4
β
4
=0． (*) 对[α
1
，α
2
，一β
1
，一β
2
]作初等行变换，有
【答案解析】