解答题
18.设矩阵
【正确答案】因为A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，所以A的属于λ=2的线性无关的特征向量必有两个，故r(2E-A)=1．经过初等行变换，得
解得x=2，y=-2．
设A的特征值为λ1，λ2，λ3，且λ1=λ2=2，则trA=λ1+λ2+λ3=2+2+λ3=1+4+5=10，得λ3=6．
对于特征值λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，有
对应的两个线性无关的特征向量为
ξ1=(1，-1，0)T，ξ2=(1，0，1)T．
对于特征值λ3=6，解齐次线性方程组(6E-A)x=0，有
对应的特征向量为
ξ3=(1，-2，3)T
令可逆矩阵
则有
解得x=2，y=-2．
设A的特征值为λ1，λ2，λ3，且λ1=λ2=2，则trA=λ1+λ2+λ3=2+2+λ3=1+4+5=10，得λ3=6．
对于特征值λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，有
对应的两个线性无关的特征向量为
ξ1=(1，-1，0)T，ξ2=(1，0，1)T．
对于特征值λ3=6，解齐次线性方程组(6E-A)x=0，有
对应的特征向量为
ξ3=(1，-2，3)T
令可逆矩阵
则有
【答案解析】本题主要考查矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件以及把一个矩阵化为对角矩阵的方法．因为A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，所以，A对应于λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E-A)=1．对矩阵2E-A作适当的初等行变换，通过r(2E-A)=1确定出x和y的值，从而确定出A．再按现成的方法求可逆矩阵P使P-1AP为对角形．