问答题
已知二次型χ
T
Aχ=
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)二次型矩阵
由
A的特征值：2+2a，2-a(二重根)
对λ=2+2a，由(λE-A)χ=0且a≠0有
得基础解系α
1
=(1，1，1)
T
．对λ=2-a，由(λE-A)χ=0
得基础解系α
2
=(-1，1，0)
T
，α
3
=(-1，0，1)
T
．
故λ=2+2a时，特征向量为k 1 α 1 ，k 1 ≠0，
λ=2-a时，特征向量为k 2 α 2 +k 3 α 3 ，k 2 ，k 3 不全为0．
(Ⅱ)二次χ T Aχ正定
∴a∈(-1，2)．
(Ⅲ)当a=-2时
A的特征值为：4，4，-2
故二次型经正交变换为
由
A的特征值：2+2a，2-a(二重根)
对λ=2+2a，由(λE-A)χ=0且a≠0有
故λ=2+2a时，特征向量为k 1 α 1 ，k 1 ≠0，
λ=2-a时，特征向量为k 2 α 2 +k 3 α 3 ，k 2 ，k 3 不全为0．
(Ⅱ)二次χ T Aχ正定
∴a∈(-1，2)．
(Ⅲ)当a=-2时
A的特征值为：4，4，-2
故二次型经正交变换为