解答题求下列极限：

问答题

【正确答案】解：

【答案解析】

问答题

【正确答案】解：令n=x，则故原极限=e2．

【答案解析】

问答题

【正确答案】解：

【答案解析】

问答题设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明：
(Ⅰ)若AB=BA，则B相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA．

【正确答案】证：设λ1，λ2，…，λn，为A的n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关特征向量p1，p2，…，Pn．记可逆矩阵P=(p1，P2，…，Pn)，有 (Ⅰ)由AB=BA，得P-1ABP=P-1BAP，于是P-1AEBP=P-1BEAP．令E=PP-1，有 (P-1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP)，即 Λ1(P-1BP)=(P-1BP)Λ1．下面证明P-1BP是对角矩阵．设P-1BP=(Cij)n×n，则比较两边对应元素，得当i≠j时，λi≠λj，则Cij=0(i，j=1，2，…，n)，从而有故B相似于对角矩阵． (Ⅱ)若Pi(i=1，2，…，n)也是B的特征向量，设对应特征值为μi，即 BPi=μiPi(i=1，2，…，n)，则有从而 P-1ABP=P-1AEBP=(P-1AP)(P-1BP)=Λ1Λ2=Λ2Λ1 =(P-1BP)(P-1AP)=P-1BAP，由此可得 AB=BA．

【答案解析】

问答题计算曲面积分

【正确答案】解：补充∑0：z=0(x2+y2≤1)，取下侧，由格林公式得

【答案解析】

问答题设a₀，a₁，…，a_n为满足

【正确答案】证：作辅助函数显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又因为由罗尔定理，存在一个ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即a0+a1ξ+a2ξ2+…+anξn=0．命题得证．

【答案解析】函数f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn虽然在[0，1]上连续，但却难以验证f(x)在[0，1]上的某个子区间的端点处的函数值是否异号．但是经分析发现f(x)的原函数在x=1处的函数值F(1)恰好满足题设已知条件，F(1)=0，为此该命题可利用罗尔定理来证．

问答题求函数

【正确答案】解：简单即求ν=x2+y2+z2在条件(x-y)2-z2=1下的极值(注：u与ν在相同条件下的极值点相同)．令 F(x，y，z)=x2+y2+z2+λ[(x-y)2-z2-1]，解方程组由①(λ-1)z=0λ=1或z=0．当λ=1时，方程组不相容，故λ≠1，于是，只有z=0，代入其他各式，得驻点：又由 F'x2=2(1+λ)，F'xy=-2λ，F'y2=2(1+λ)， F'z2=2(1-λ)，F'yz=F'xz=0，故P1，P2分别为ν的极小值点，亦即u的极小值点．极小值为：

【答案解析】

问答题设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数f_Z(z)．

【正确答案】解：X，Y的边缘密度分别为因为X，Y独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}= 当z＜0时，FZ(z)=0；当0≤z＜1时， =z-e-z(ez-1)=z+e-z-1；当z≥1时， =1-e-z(e-1)=1+e-z-e1-z，

【答案解析】