解答题
设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f'(0)]2=4.
试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0.
试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0.
【正确答案】
【答案解析】[证] 根据拉格朗日中值定理有f(0)-f(-2)=2f'(ξ1)，-2＜ξ1＜0，
f(2)-f(0)=2f'(ξ2)，0＜ξ2＜2.
由|f(x)|≤1知
令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2.
因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在点ξ∈[ξ1，ξ2]
f(2)-f(0)=2f'(ξ2)，0＜ξ2＜2.
由|f(x)|≤1知
令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2.
因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在点ξ∈[ξ1，ξ2]