问答题
设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
问答题
求f(x)；
【正确答案】正确答案：由题知，存在二元函数u(x，y)，使 du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy， 即
由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
【答案解析】
问答题
求u(x，y)的一般表达式．
【正确答案】正确答案：由上题有，du=(xy
2
+y—ye
-x
)dx+(x一1+e
-x
+x
2
y)dy．求u(x，y)有多个方法． 方法一 凑微分法．
所以u(x，y)=
(xy)
2
+xy+ye
-x
一y+C，其中C为任意常数． 方法二 偏积分法．由
其中C
1
(y)为Y的任意可微函数．再由
得 x
2
y+x+e
-x
+C'
1
(y)=x一1+e
-x
+x
2
y， 于是C'
1
(y)=一1，C
1
(y)=一y+C．于是 u=
所以u(x，y)=
(xy)
2
+xy+ye
-x
一y+C，其中C为任意常数． 方法二 偏积分法．由
其中C
1
(y)为Y的任意可微函数．再由
得 x
2
y+x+e
-x
+C'
1
(y)=x一1+e
-x
+x
2
y， 于是C'
1
(y)=一1，C
1
(y)=一y+C．于是 u=
【答案解析】