【正确答案】(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁=E．作B₁=P₁^TBP₁，则B₁仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P=P₁Q，则
P^TAP=Q^TP₁^TAP₁Q=E，P^TBP=Q^TP₁^TBP₁Q=Q^TB₁Q．因此P即所求．
(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记
M=max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．
则当｜ε｜＜1／M时，E+εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελ_i＞0，i=1，2，…，n．于是E+εP^TBP正定，P^T(A+εB)P=E+εP^TBP，因此A+εB也正定．