问答题
设A，B都是实对称矩阵，且A为正定矩阵，试证：一定存在满秩矩阵C，使CTAC，CTBC都是对角矩阵.
【正确答案】由于A为正定矩阵，其规范形为E，即存在满秩矩阵C1. 使
.
B也是实对称矩阵. 于是从
，表明
仍为实对称矩阵. 从而存在正交矩阵C2，使
(λi(i=1，2，…，n)是
的特征值).
于是
(已知C2为正交矩阵).
令C=C1C2，则|C|=|C1||C2|≠0，即C为满秩矩阵.
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，表明仍为实对称矩阵. 从而存在正交矩阵C2，使(λi(i=1，2，…，n)是的特征值).于是
(已知C2为正交矩阵). 令C=C1C2，则|C|=|C1||C2|≠0，即C为满秩矩阵.
【答案解析】[考点] 实对称矩阵化为对角矩阵