问答题
求微分方程y"+2y’+2y=2e
-x
cos
2
【正确答案】正确答案：应先用三角公式将自由项写成 e
-x
+e
-x
cosx， 然后再用叠加原理和待定系数法求特解． 对应的齐次方程的通解为 Y=(C
1
cosx+C
2
sin x)e
-x
． 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项e
-x
，e
-x
cos x，分别考虑 y"+2y'+2y=e
-x
， ① 与 y"+2y'+2y=e
-x
cosx。 ② 对于①，令 y
1
*=Ae
-x
． 代入可求得A=1，从而得y
1
*=e
-x
． 对于②，令 y
2
*=xe
-x
(Bcos x+Csin x)， 代入可求得B=0，
．由叠加原理，得原方程的通解为y=Y+y
1
*+y
2
*=e
-x
(C
1
cosx+C
2
sin x)+e
-x
+
．由叠加原理，得原方程的通解为y=Y+y
1
*+y
2
*=e
-x
(C
1
cosx+C
2
sin x)+e
-x
+
【答案解析】