解答题
23.[2005年] 如图1．3．5．2所示，c1和c2分别是y=(1+ex)／2和y=ex的图形，过点(0，1)的曲线c3是一单调增函数的图形，过c2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly．记c1，c2与lx所围图形的面积为S1(x)；c2，c3与ly所围图形的面积为S2(y)．如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线c3的方程x=φ(y)．
【正确答案】利用定积分的几何意义可确定面积S1(x)，S2(y)．再由S1(x)=S2(y)可建立积分等式，求导可得到微分方程，解此方程即可求出所需的函数关系．
先求出S1(x)，S2(y)的表达式，由定积分的几何意义，利用式(1．3．5．1)得到
S1(x)=∫0x[et一
(1+et)]dt=
∫0x(et一1)dt=
(ex—x—1)，
S2(y)=∫1y[lnt一φ(t)]dt
由题设S1(x)=S2(y)得到
=∫1y[lnt—φ(t)]dt．
因点M在曲线c2上，故y=ex，即x=lny．于是由上式得
=∫1y[lnt一φ(t)]dt，
两边对y求导得
先求出S1(x)，S2(y)的表达式，由定积分的几何意义，利用式(1．3．5．1)得到
S1(x)=∫0x[et一
(1+et)]dt=∫0x(et一1)dt=(ex—x—1)，S2(y)=∫1y[lnt一φ(t)]dt
由题设S1(x)=S2(y)得到
=∫1y[lnt—φ(t)]dt．因点M在曲线c2上，故y=ex，即x=lny．于是由上式得
=∫1y[lnt一φ(t)]dt，两边对y求导得
【答案解析】