【正确答案】证明：(1)对任意的X₁，X₂∈V，任意的k∈K，有
   φ(X₁+X₂)=A(X₁+X₂)B=AX₁B+AX₂B
   =φ(X₁)+φ(X₂)，
   φ(AX₁)=A(kx₁)B=kφ(X₁)
   所以φ是V上的线性变换．
   (2)充分性
   因为A，B都是可逆的，即A^-1、B^-1存在，所以对任意的X∈V，有φ(A^-1XB^-1)=A(A^-1XB^-1)=X，即X有原像；对任意的X₁，X₂∈V，若φ(X₁)=φ(X₂)，即AX₁B=AX₂B，有X₁=A^-1(AX₂B)B^-1=X₂；
   故φ是双射，由(1)知φ是V上的线性变换，所以φ是线性同构的；
   必要性：
   因为φ(0)=AOB=0，又φ是双射，所以若X≠0，则φ(X)≠0，即AXB≠O，于是|A|·|X|·|B|=|AXB|≠0，可得|A|≠0，|B|≠0，故A，B都可逆．

【答案解析】[逻辑推理] φ已具体给出，只需验证其符合线性变换的定义即可．要证φ是线性同构的，只要证明φ是双射即可．