问答题
设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立
f(tx，ty)=t
2
f(x，y)．
(1)证明
(2)设D是由L：x
2
+y
2
=4正向一周所围成的闭区域，证明：
∮
L
f(x，y)ds=
(2)设D是由L：x
2
+y
2
=4正向一周所围成的闭区域，证明：
∮
L
f(x，y)ds=
【正确答案】正确答案：(1)方程f(tx，ty)=t
2
f(x，y)两边对t求导得 xf
1
'(tx，ty)+yf
2
'(tx，ty)=2tf(x．y)． 再对t求导得， x[xf
21
/]/](tx，ty)+yf
12
''(tx，ty)]+y[xf
21
''(tx，ty)+yf
22
''(tx，ty)]=2f(x，y)． 于是 tx[txf
11
''(tx，ty)+ty
12
''(tx，ty)]+ty[txf
21
''(tx，ty)+tyf
22
''(tx，ty)]=2t
2
f(x，y)=2f(tx，ty)， 由此得x
2
f
xx
''(x，y)+2xyf
xy
''(x，y)+y
2
f
yy
''(x，y)=2f(x，y)，即结论成立． (2)由xf
1
'(tx，ty)+yf
2
'(tx，ty)=2tf(x，y)得 txf
1
'(tx，ty)+tyf
2
'(tx，ty)=2t
2
f(x，y)， 即xf
x
'(x，y)+yf
y
'(x，y)=2f(x，y)，又
【答案解析】