问答题
设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式：
(Ⅰ)a
p
+b
p
＞2
1—p
(a+b)
p
(p＞1)；
(Ⅱ)a
p
+b
p
＜2
1—p
(a+b)
p
(0＜p＜1)．
【正确答案】正确答案：将a
p
+b
p
>2
1—p
(a+b)
p
改写成
．考察函数f(x)=x
p
，x＞0，则 f'(x)=px
p—1
，f"(x)=p(p一1)x
p—2
． (Ⅰ)若p＞1，则f"(x)＞0 (
＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，由已知不等式(4．6)，其中t=
a＞0，b＞0，a≠6，有
(a
p
+b
p
)． (Ⅱ)若0＜p＜1，则f"(x)＜0 (
x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，由不等式(4．7)，其中t=
．考察函数f(x)=x
p
，x＞0，则 f'(x)=px
p—1
，f"(x)=p(p一1)x
p—2
． (Ⅰ)若p＞1，则f"(x)＞0 (
＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，由已知不等式(4．6)，其中t=
a＞0，b＞0，a≠6，有
(a
p
+b
p
)． (Ⅱ)若0＜p＜1，则f"(x)＜0 (
x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，由不等式(4．7)，其中t=
【答案解析】