单选题
20.设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则( )
【正确答案】
A
【答案解析】先考虑奇偶性：因为F(x)=∫0xf(t)dt+C，所以F(一x)=∫0-xf(t)dt+C．
令u=-t,∫0-xf(t)dt+C=∫0xf(一u)d(一u)+C=一∫0xf(一u)du+C
当f(x)是奇函数时,f(一u)=-f(u)，从而有
F(一x)=∫0xf(u)du+C=F(x)，即F(x)必为偶函数，故应选(A)．
(B)的反例：偶函数f(x)=cosx，F(x)=sin x+1不是奇函数；
(C)的反例：周期函数f(x)=cos2 x，F(x)=
不是周期函数；
(D)的反例：(一∞，+∞)内的单调函数f(x)=x，
令u=-t,∫0-xf(t)dt+C=∫0xf(一u)d(一u)+C=一∫0xf(一u)du+C
当f(x)是奇函数时,f(一u)=-f(u)，从而有
F(一x)=∫0xf(u)du+C=F(x)，即F(x)必为偶函数，故应选(A)．
(B)的反例：偶函数f(x)=cosx，F(x)=sin x+1不是奇函数；
(C)的反例：周期函数f(x)=cos2 x，F(x)=
不是周期函数；(D)的反例：(一∞，+∞)内的单调函数f(x)=x，