问答题
设f(x)在[a，b]上可导，且f"(x)＞0，f(a)＞0，试证：对于如图所示的两个面积函数A(x)和B(x)，存在唯一的ξ∈(a，b)，
使得
使得
【正确答案】
【答案解析】[证]令
F"(x)=f(x)(x-a)+1994f"(x)(b-x)＞0(因为f"(x)＞0)，
可知F(x)在(a，b)内单调增加，故F(x)在(a，b)内至多有一个零点．
又因为f"(x)＞0，f(x)“↗”，
所以
由闭区间上连续函数的零值定理，可知F(x)在(a，b)内至少有一个零点．
综上所述，可知F(x)在(a，b)内有唯一的零点ξ，使得F(ξ)=0，即
[解析] 把上式中的ξ改为x，则A(x)=1994B(x)，
因为
所以可令辅助函数F(x)为
F"(x)=f(x)(x-a)+1994f"(x)(b-x)＞0(因为f"(x)＞0)，
可知F(x)在(a，b)内单调增加，故F(x)在(a，b)内至多有一个零点．
又因为f"(x)＞0，f(x)“↗”，
所以
由闭区间上连续函数的零值定理，可知F(x)在(a，b)内至少有一个零点．
综上所述，可知F(x)在(a，b)内有唯一的零点ξ，使得F(ξ)=0，即
[解析] 把上式中的ξ改为x，则A(x)=1994B(x)，
因为
所以可令辅助函数F(x)为