问答题
A是n阶矩阵，λ，μ是实数，ξ是n维非零向量．
问答题
若Aξ=λξ，求A
2
的特征值、特征向量；
【正确答案】
【答案解析】[解] 由题设条件 Aξ=λξ，
两边左乘A，得 A 2 ξ=λAξ=λ 2 ξ，
故A 2 有特征值λ 2 ，对应的特征向量为ξ．
两边左乘A，得 A 2 ξ=λAξ=λ 2 ξ，
故A 2 有特征值λ 2 ，对应的特征向量为ξ．
问答题
若A
2
ξ=μξ，问ξ是否必是A的特征向量，说明理由；
【正确答案】
【答案解析】[解] ξ不一定是A的特征向量，例如
故任意非零向量都是A
2
的特征向量，故
是A
2
的特征向量，但不是A的特征向量，因
故任意非零向量都是A
2
的特征向量，故
是A
2
的特征向量，但不是A的特征向量，因
问答题
若A可逆，且有A
3
ξ=λξ，A
5
ξ=μξ，证明ξ是A的特征向量．并指出其对应的特征值．
【正确答案】
【答案解析】[解] A
3
ξ=λξ (1)，A
5
ξ=μξ (2)．
(1)式左乘A 3 ，得A 6 ξ=λA 3 ξ=λ 2 ξ；(2)式左乘A，得A 6 ξ=μAξ．
故有μAξ=λ 2 ξ，
又因A可逆，故A 5 可逆，其对应的特征值μ≠0，从而有
得证ξ也是A的特征向量，且对应特征值为
(1)式左乘A 3 ，得A 6 ξ=λA 3 ξ=λ 2 ξ；(2)式左乘A，得A 6 ξ=μAξ．
故有μAξ=λ 2 ξ，
又因A可逆，故A 5 可逆，其对应的特征值μ≠0，从而有
得证ξ也是A的特征向量，且对应特征值为