问答题
问答题
设α
1
，α
2
，β
1
，β
2
均是三维列向量，且α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α
1
，α
2
线性表出，又可由β
1
，β
2
线性表出；
【正确答案】
【答案解析】解：证明：由题意可知四个三维列向量α
1
，α
2
，β
1
，β
2
必线性相关，故知存在不全为零的k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +λ 1 β 1 +λ 2 β 2 =0
成立，即
k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2
成立，其中k 1 ，k 2 不全为零(若k 1 =k 2 =0，则-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 =0，β 1 ，β 2 线性相关，这与已知β 1 ，β 2 线性无关矛盾)，且k 1 α 1 +k 2 α 2 ≠0(因α 1 ，α 2 线性无关)．
令ξ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ≠0，则ξ即为所求，得证，存在ξ≠0，既可由α 1 ，α 2 线性表出，又可由β 1 ，β 2 线性表出．
k 1 α 1 +k 2 α 2 +λ 1 β 1 +λ 2 β 2 =0
成立，即
k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2
成立，其中k 1 ，k 2 不全为零(若k 1 =k 2 =0，则-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 =0，β 1 ，β 2 线性相关，这与已知β 1 ，β 2 线性无关矛盾)，且k 1 α 1 +k 2 α 2 ≠0(因α 1 ，α 2 线性无关)．
令ξ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ≠0，则ξ即为所求，得证，存在ξ≠0，既可由α 1 ，α 2 线性表出，又可由β 1 ，β 2 线性表出．
问答题
当
【正确答案】
【答案解析】解：因α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
线性无关，
由第一小题知，ξ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ，得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +λ 1 β 1 +λ 2 β 2 =0，
将上述齐次方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵，得
由第一小题知，ξ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ，得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +λ 1 β 1 +λ 2 β 2 =0，
将上述齐次方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵，得