【答案解析】(Ⅰ)[证] 由题设A²=A，故A²-A=A(A-E)=(A-E)A=O，故
   r(A)+r(A-E)≤n．
   又r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，
   故r(A)+r(A-E)=n．
   设r(A)=r，r(A-E)=n-r．
   因(A-E)A=O，r(A)=r，A中r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=1的特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r．
   又A(A-E)=O，r(A-E)=n-r，A-E中n-r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=0的特征向量，记为η₁，η₂，…，η_n-r，不同特征值对应的特征向量线性无关．
   故取P=(ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η₁，η₂，…，η_n-r)P可逆，且
   (Ⅱ)[解] 因
   
   满足(Ⅰ)的条件，由(Ⅰ)知，r(A)=1，A的线性无关列向量是A的对应于特征值λ=1的特征向量．
   的线性无关列向量是A的对应于特征值λ=0的特征向量．