问答题
设A是3阶矩阵，b=[9，18，－18]
T
，方程Ax=b有通解k
1
[－2，1，0]
T
+k
2
[2，0，1]
T
+[1，2，－2]
T
，其中k
1
，k
2
是任意常数，求A及A
100
．
【正确答案】正确答案：方法一 由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是ξ
1
=[－2，1，0]
T
，ξ
2
=[2，0，1]
T
， 即ξ
1
，ξ
2
是A的对应于λ=0的两个线性无关的特征向量，又η=[1，2，－2]
T
是Ax=b的特解，即有
知ξ
3
=[1，2，－2]
T
=η是A的对应于λ=9的特征向量，取可逆阵P=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
]，则得 P
－1
AP=Λ，A=PΛP
－1
，
或 A
100
=(PΛP
－1
)
100
=PΛ
100
P
－1
方法二 由方程的通解直接求出系数矩阵A． 因对应齐次方程Ax=0有通解为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
=k
1
[－2，1，0]
T
+k
2
[2，0，1]
T
，故r(A)=1． 可设方程为 ax
1
+bx
2
+xx
3
=0， 将ξ
1
，ξ
2
代入，则有
得c=－2a，b=2a，故方程为 a(x
1
+2x
2
－2x
3
)=0． 对应的非齐次方程为
将特解η=[1，2，－2]
T
代入得k
1
=1，k
2
=2，k
3
=－2． 故得对应矩阵
再求A
100
．(同方法一) 或因Aξ
1
=0，故A
100
ξ
1
=0；Aξ
2
=0，故A
100
ξ
2
=0．Aη=9ζ，故A
100
η=9
100
η． 故 A
100
[ξ
1
，ξ
2
，η]=[0，0，9
100
η]． A
100
=[0，0，9
100
η][ξ
1
，ξ
2
，η]
－1
=
知ξ
3
=[1，2，－2]
T
=η是A的对应于λ=9的特征向量，取可逆阵P=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
]，则得 P
－1
AP=Λ，A=PΛP
－1
，
或 A
100
=(PΛP
－1
)
100
=PΛ
100
P
－1
方法二 由方程的通解直接求出系数矩阵A． 因对应齐次方程Ax=0有通解为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
=k
1
[－2，1，0]
T
+k
2
[2，0，1]
T
，故r(A)=1． 可设方程为 ax
1
+bx
2
+xx
3
=0， 将ξ
1
，ξ
2
代入，则有
得c=－2a，b=2a，故方程为 a(x
1
+2x
2
－2x
3
)=0． 对应的非齐次方程为
将特解η=[1，2，－2]
T
代入得k
1
=1，k
2
=2，k
3
=－2． 故得对应矩阵
再求A
100
．(同方法一) 或因Aξ
1
=0，故A
100
ξ
1
=0；Aξ
2
=0，故A
100
ξ
2
=0．Aη=9ζ，故A
100
η=9
100
η． 故 A
100
[ξ
1
，ξ
2
，η]=[0，0，9
100
η]． A
100
=[0，0，9
100
η][ξ
1
，ξ
2
，η]
－1
=
【答案解析】