解答题
20.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=
xe1—xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f'(ξ)=(1一
xe1—xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f'(ξ)=(1一
【正确答案】
故kf(1)=kηe1—ηf(η)，即f(1)=ηe1—ηf(η)。
再令φ(x)=xe1—xf(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f(1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)
(0，1)，使得φ'(ξ)=0，即
故kf(1)=kηe1—ηf(η)，即f(1)=ηe1—ηf(η)。
再令φ(x)=xe1—xf(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f(1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)
(0，1)，使得φ'(ξ)=0，即【答案解析】