问答题
设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
【正确答案】正确答案：由积分中值定理，得
令F(x)=e
1-x2
f(x)，则F(x)在[ξ
1
，1]上连续，在(ξ
1
，1)内可导，且 F(1)=f(1)=e
1-ξ12
(ξ
1
)=F(ξ
1
)． 由罗尔定理知，在(ξ
1
，1)内至少有一点ξ，使得 F，(ξ)=e
1-ξ2
[f'(ξ)一2ξf(ξ)]=0， 由于e
1-ξ2
≠0，于是 f'(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ
1
，1)
令F(x)=e
1-x2
f(x)，则F(x)在[ξ
1
，1]上连续，在(ξ
1
，1)内可导，且 F(1)=f(1)=e
1-ξ12
(ξ
1
)=F(ξ
1
)． 由罗尔定理知，在(ξ
1
，1)内至少有一点ξ，使得 F，(ξ)=e
1-ξ2
[f'(ξ)一2ξf(ξ)]=0， 由于e
1-ξ2
≠0，于是 f'(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ
1
，1)
【答案解析】