解答题 38.设A为n阶非零矩阵，且存在自然数忌，使得Ak=O．证明：A不可以对角化．
【正确答案】方法一令AX=λX(X≠0)，则有A*X=λkX，因为Ak=O，所以λkX=0，注意到X≠0，故λk=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0．
因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系至多含n-1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．
方法二设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得
P-1AP=
两边k次幂得
P-1AkP=
【答案解析】