解答题
设二次型
f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
问答题
8.求a，b的值；
【正确答案】二次型f的矩阵为
设A的特征值为λi(i=1，2，3)．由题设，有
λ1+λ2+λ3=a+2+(－2)=1，
设A的特征值为λi(i=1，2，3)．由题设，有
λ1+λ2+λ3=a+2+(－2)=1，
【答案解析】
问答题
9.利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
【正确答案】由矩阵A的特征多项式
得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=－3．
对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系
ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T．
对于λ3=－3，解齐次线性方程组(－3E－A)x=0，得基础解系
ξ3=(1，0，－2)T．
由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，由此得
令矩阵
则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy下，有
得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=－3．
对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系
ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T．
对于λ3=－3，解齐次线性方程组(－3E－A)x=0，得基础解系
ξ3=(1，0，－2)T．
由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，由此得
令矩阵
则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy下，有
【答案解析】