问答题
设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
1.若f(a)=0，f(b)＜0，f'+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f'2(ξ)=0．
1.若f(a)=0，f(b)＜0，f'+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f'2(ξ)=0．
【正确答案】因为f'+(a)＞0，所以存在C∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f(x0)=0．
令φ(x)=f(x)f'(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)
令φ(x)=f(x)f'(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)
【答案解析】
【正确答案】令
，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F'(c)=0，即f(c)=0．
令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，则h'(x)=ex[f(x)+f'(x)]，所以f(ξ1)+f'(ξ1)=0，f(ξ2)+f'(ξ2)=0．
再令G(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)
，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F'(c)=0，即f(c)=0．令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，则h'(x)=ex[f(x)+f'(x)]，所以f(ξ1)+f'(ξ1)=0，f(ξ2)+f'(ξ2)=0．
再令G(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】